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Construction Quadrant P34 Pan Magic Squares

Exhibit P34a
Limited Collection (Example 1)

A controllable collection of Quadrant P34 Pan Magic Squares can be obtained based on the decomposition of Example 1 into Orthogonal Latin Squares as shown below:

P34
46 74 102 130 145 4 32 60 88 116 131 159 18
63 91 106 134 162 21 49 77 92 120 148 7 35
67 95 123 151 10 38 53 81 109 137 165 24 52
84 112 140 168 14 42 70 98 126 154 13 28 56
101 129 144 3 31 59 87 115 143 158 17 45 73
105 133 161 20 48 76 104 119 147 6 34 62 90
122 150 9 37 65 80 108 136 164 23 51 66 94
139 167 26 41 69 97 125 153 12 27 55 83 111
156 2 30 58 86 114 142 157 16 44 72 100 128
160 19 47 75 103 118 146 5 33 61 89 117 132
8 36 64 79 107 135 163 22 50 78 93 121 149
25 40 68 96 124 152 11 39 54 82 110 138 166
29 57 85 113 141 169 15 43 71 99 127 155 1
L2
6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4
10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8
1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12
5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3
9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7
0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2
8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6
12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10
3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1
7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5
11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9
2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0
R6
3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1
4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2
5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3
6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4
7 9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5
8 10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6
9 11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7
10 12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8
11 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9
12 1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10
0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11
1 3 5 7 9 11 0 2 4 6 8 10 12
2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 0

which can be formalised as follows:

L2
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13
a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2
a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4
a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6
a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1
a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3
a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5
a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
R6
a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5
a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13
a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1
a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2
a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3
a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4
a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11

The Quadrant P34 Magic property for square L2 and R6 can be described by following linear equations: 

a2  + 2*a6  + a3  + a9  +   a8  +   a10 +   a12 + a11 + 2*a1  + a4  + a5   = s1     L2
a8  + 2*a12 + a9  + a2  +   a1  +   a3  +   a5  + a4  + 2*a7  + a10 + a11  = s1
a1  + 2*a5  + a2  + a8  +   a7  +   a9  +   a11 + a10 + 2*a13 + a3  + a4   = s1
a7  + 2*a11 + a8  + a1  +   a13 +   a2  +   a4  + a3  + 2*a6  + a9  + a10  = s1

a7  +   a11 + a13 + a3  + 2*a6  + 2*a2  +   a4  + a5  +   a8  + a10 + a1   = s1     R6
a13 +   a4  + a6  + a9  + 2*a12 + 2*a8  +   a10 + a11 +   a1  + a3  + a7   = s1
a10 +   a1  + a3  + a6  + 2*a5  +   a7  + 2*a9  + a8  +   a11 + a13 + a4   = s1
a3  +   a7  + a9  + a12 + 2*a2  + 2*a11 +   a13 + a1  +   a4  + a6  + a10  = s1

Which can be deducted till: 

a(1) = 0.4 * a(11) - 1.8 * a(12) + 2.4 * a(13)
a(2) =       a( 9) + 0.1 * a(11) + 0.3 * a(12) - 0.4 * a(13)
a(3) = s1 -  a( 4) -   3 * a( 9) -       a(10) -   3 * a(11) + a(12) - 5 * a(13)
a(5) = 0.3 * a(11) + 0.9 * a(12) - 0.2 * a(13)
a(6) = 0.1 * a(11) + 0.3 * a(12) + 0.6 * a(13)
a(7) = 0.3 * a(11) - 1.1 * a(12) + 1.8 * a(13)
a(8) =       a( 9) + 0.6 * a(11) - 0.2 * a(12) - 0.4 * a(13)
a(11) =  2 * a(12) -       a(13)

Which equations describe the top row of Latin Squares L2 and consequently the top row of Latin Square R6.

An optimised guessing routine LatRowP34c - based on these equations - produced 72 suitable Latin Top Rows, which are shown in Attachment 12.7.43.

Attachment 12.7.41 shows the (72) Quadrant P34 Pan Magic Squares which could be constructed based on subject Latin Top Rows (ref. CnstrP34a).

Exhibit P34b
Full Collection L2/R6

In general Quadrant P34 Pan Magic Squares can be constructed based on Orthogonal Latin Diagonal Squares A and B as shown below:

A(L2)
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13
a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2
a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4
a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6
a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8
a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1
a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3
a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5
a8 a9 a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
a10 a11 a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
a12 a13 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11
B(R6)
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13
b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7
b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1
b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8
b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2
b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9
b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3
b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10
b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4
b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11
b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5
b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12
b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b1 b2 b3 b4 b5 b6

The Quadrant P34 Magic property for squares A(L2) and B(R6) can be described by following linear equations: 

a2  + 2*a6  + a3  + a9  + a8  + a10 + a12 + a11 + 2*a1  + a4  + a5  = s1     A(L2)
a8  + 2*a12 + a9  + a2  + a1  + a3  + a5  + a4  + 2*a7  + a10 + a11 = s1
a1  + 2*a5  + a2  + a8  + a7  + a9  + a11 + a10 + 2*a13 + a3  + a4  = s1
a7  + 2*a11 + a8  + a1  + a13 + a2  + a4  + a3  + 2*a6  + a9  + a10 = s1

b2  + b6  + b8  + b11 + 2*b1  + 2*b10 + b12 + b13 + b3  + b5  + b9  = s1     B(R6)
b8  + b12 + b1  + b4  + 2*b7  + 2*b3  + b5  + b6  + b9  + b11 + b2  = s1
b5  + b9  + b11 + b1  + 2*b4  + 2*b13 + b2  + b3  + b6  + b8  + b12 = s1
b11 + b2  + b4  + b7  + 2*b10 + 2*b6  + b8  + b9  + b12 + b1  + b5  = s1

Which can be deducted till: 

a(1) = -2 * a(6) + 2 * a( 7) + a(12)
a(2) = s1 - a(3) -     a( 4) - a( 5) + 2 * a(6) - 4*a(7) - a(8) - a(9) - a(10) - a(11) - 3*a(12)
a(5) =      a(7) + 2 * a(12) - 2 * a(13)
a(6) =( 2 * a(7) -     a(11) + 4 * a(12) - 3 * a(13))/2

b(1) =       b(6) + 3   * b(7) - 3   * b(13)
b(2) = s1 -  b(5) - 3.5 * b(6) - 5.5 * b( 7) - b(8) - b(9) - 3*b(10) - b(11) - b(12) + 5*b(13)
b(3) = 0.5 * b(6) - 0.5 * b(7) +       b(10)
b(4) = 0.5 * b(6) + 1.5 * b(7) +       b(10) - 2 * b(13)

Which equations describe suitable top rows for Latin Squares A(L2) and B(R6).

The top rows can be constructed with separate routines LatRowP34a and LatRowP34b, which generated each 158400 suitable top rows, based on which numerous Quadrant P34 Pan Magic Squares can be constructed.

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