Office Applications and Entertainment, Magic Squares Index About the Author

12.2   Pan Magic Squares (12 x 12) based on Franklin Like Properties

12.2.1 Introduction

The 12th order Pan Magic Square shown below is constructed by Donald Morris and satisfies the Franklin like properties that:

1. Any row or column can be divided in three parts summing to one third of the Magic Constant;
2. The main bent diagonals and all the bent diagonals parallel to it sum to the Magic Constant;
3. Every 2 × 2 sub square sums to one third of the Magic Constant.

 1 120 121 48 142 27 22 99 11 110 131 38 136 33 16 105
 85 72 73 60 58 75 70 87 95 62 83 50 52 81 64 93
 97 24 25 144 46 123 118 3 107 14 35 134 40 129 112 9
 8 113 128 41 138 31 18 103 5 116 125 44 139 30 19 102
 92 65 80 53 54 79 66 91 89 68 77 56 55 78 67 90
 104 17 32 137 42 127 114 7 101 20 29 140 43 126 115 6
 12 109 132 37 135 34 15 106 2 119 122 47 141 28 21 100
 96 61 84 49 51 82 63 94 86 71 74 59 57 76 69 88
 108 13 36 133 39 130 111 10 98 23 26 143 45 124 117 4

12.2.2 Analysis

The properties mentioned above result in following set of linear equations:

Any row or column can be divided in three parts summing to one third of the Magic Constant:

 a( 1) + a( 2) + a( 3) + a( 4) = s1/3 a(13) + a(14) + a(15) + a(16) = s1/3 a(25) + a(26) + a(27) + a(28) = s1/3 a(37) + a(38) + a(39) + a(40) = s1/3 a(49) + a(50) + a(51) + a(52) = s1/3 a(61) + a(62) + a(63) + a(64) = s1/3 a(73) + a(74) + a(75) + a(76) = s1/3 a(85) + a(86) + a(87) + a(88) = s1/3 a( 97)+ a( 98)+ a( 99)+ a(100)= s1/3 a(109)+ a(110)+ a(111)+ a(112)= s1/3 a(121)+ a(122)+ a(123)+ a(124)= s1/3 a(133)+ a(134)+ a(135)+ a(136)= s1/3 a( 5) + a( 6) + a( 7) + a( 8) = s1/3 a(17) + a(18) + a(19) + a(20) = s1/3 a(29) + a(30) + a(31) + a(32) = s1/3 a(41) + a(42) + a(43) + a(44) = s1/3 a(53) + a(54) + a(55) + a(56) = s1/3 a(65) + a(66) + a(67) + a(68) = s1/3 a(77) + a(78) + a(79) + a(80) = s1/3 a(89) + a(90) + a(91) + a(92) = s1/3 a(101)+ a(102)+ a(103)+ a(104)= s1/3 a(113)+ a(114)+ a(115)+ a(116)= s1/3 a(125)+ a(126)+ a(127)+ a(128)= s1/3 a(137)+ a(138)+ a(139)+ a(140)= s1/3 a( 9) + a(10) + a(11) + a(12) = s1/3 a(21) + a(22) + a(23) + a(24) = s1/3 a(33) + a(34) + a(35) + a(36) = s1/3 a(45) + a(46) + a(47) + a(48) = s1/3 a(57) + a(58) + a(59) + a(60) = s1/3 a(69) + a(70) + a(71) + a(72) = s1/3 a(81) + a(82) + a(83) + a(84) = s1/3 a(93) + a(94) + a(95) + a(96) = s1/3 a(105)+ a(106)+ a(107)+ a(108)= s1/3 a(117)+ a(118)+ a(119)+ a(120)= s1/3 a(129)+ a(130)+ a(131)+ a(132)= s1/3 a(141)+ a(142)+ a(143)+ a(144)= s1/3 a( 1) + a(13) + a(25) + a(37) = s1/3 a( 2) + a(14) + a(26) + a(38) = s1/3 a( 3) + a(15) + a(27) + a(39) = s1/3 a( 4) + a(16) + a(28) + a(40) = s1/3 a(49) + a(61) + a(73) + a(85) = s1/3 a(50) + a(62) + a(74) + a(86) = s1/3 a(51) + a(63) + a(75) + a(87) = s1/3 a(52) + a(64) + a(76) + a(88) = s1/3 a( 97)+ a(109)+ a(121)+ a(133)= s1/3 a( 98)+ a(110)+ a(122)+ a(134)= s1/3 a( 99)+ a(111)+ a(123)+ a(135)= s1/3 a(100)+ a(112)+ a(124)+ a(136)= s1/3 a( 5) + a(17) + a(29) + a(41) = s1/3 a( 6) + a(18) + a(30) + a(42) = s1/3 a( 7) + a(19) + a(31) + a(43) = s1/3 a( 8) + a(20) + a(32) + a(44) = s1/3 a(53) + a(65) + a(77) + a(89) = s1/3 a(54) + a(66) + a(78) + a(90) = s1/3 a(55) + a(67) + a(79) + a(91) = s1/3 a(56) + a(68) + a(80) + a(92) = s1/3 a(101)+ a(113)+ a(125)+ a(137)= s1/3 a(102)+ a(114)+ a(126)+ a(138)= s1/3 a(103)+ a(115)+ a(127)+ a(139)= s1/3 a(104)+ a(116)+ a(128)+ a(140)= s1/3 a( 9) + a(21) + a(33) + a(45) = s1/3 a(10) + a(22) + a(34) + a(46) = s1/3 a(11) + a(23) + a(35) + a(47) = s1/3 a(12) + a(24) + a(36) + a(48) = s1/3 a(57) + a(69) + a(81) + a(93) = s1/3 a(58) + a(70) + a(82) + a(94) = s1/3 a(59) + a(71) + a(83) + a(95) = s1/3 a(60) + a(72) + a(84) + a(96) = s1/3 a(105)+ a(117)+ a(129)+ a(141)= s1/3 a(106)+ a(118)+ a(130)+ a(142)= s1/3 a(107)+ a(119)+ a(131)+ a(143)= s1/3 a(108)+ a(120)+ a(132)+ a(144)= s1/3
 The numbers of the long diagonals and all the broken diagonals parallel to it sum to the Magic Constant: a( 1) + a(14) + a(27) + a(40) + a(53) + a(66) + a(79) + a(92) + a(105) + a(118) + a(131) + a(144) = s1 a( 2) + a(15) + a(28) + a(41) + a(54) + a(67) + a(80) + a(93) + a(106) + a(119) + a(132) + a(133) = s1 a( 3) + a(16) + a(29) + a(42) + a(55) + a(68) + a(81) + a(94) + a(107) + a(120) + a(121) + a(134) = s1 a( 4) + a(17) + a(30) + a(43) + a(56) + a(69) + a(82) + a(95) + a(108) + a(109) + a(122) + a(135) = s1 a( 5) + a(18) + a(31) + a(44) + a(57) + a(70) + a(83) + a(96) + a( 97) + a(110) + a(123) + a(136) = s1 a( 6) + a(19) + a(32) + a(45) + a(58) + a(71) + a(84) + a(85) + a( 98) + a(111) + a(124) + a(137) = s1 a( 7) + a(20) + a(33) + a(46) + a(59) + a(72) + a(73) + a(86) + a( 99) + a(112) + a(125) + a(138) = s1 a( 8) + a(21) + a(34) + a(47) + a(60) + a(61) + a(74) + a(87) + a(100) + a(113) + a(126) + a(139) = s1 a( 9) + a(22) + a(35) + a(48) + a(49) + a(62) + a(75) + a(88) + a(101) + a(114) + a(127) + a(140) = s1 a(10) + a(23) + a(36) + a(37) + a(50) + a(63) + a(76) + a(89) + a(102) + a(115) + a(128) + a(141) = s1 a(11) + a(24) + a(25) + a(38) + a(51) + a(64) + a(77) + a(90) + a(103) + a(116) + a(129) + a(142) = s1 a(12) + a(13) + a(26) + a(39) + a(52) + a(65) + a(78) + a(91) + a(104) + a(117) + a(130) + a(143) = s1 a(12) + a(23) + a(34) + a(45) + a(56) + a(67) + a(78) + a(89) + a(100) + a(111) + a(122) + a(133) = s1 a(11) + a(22) + a(33) + a(44) + a(55) + a(66) + a(77) + a(88) + a( 99) + a(110) + a(121) + a(144) = s1 a(10) + a(21) + a(32) + a(43) + a(54) + a(65) + a(76) + a(87) + a( 98) + a(109) + a(132) + a(143) = s1 a( 9) + a(20) + a(31) + a(42) + a(53) + a(64) + a(75) + a(86) + a( 97) + a(120) + a(131) + a(142) = s1 a( 8) + a(19) + a(30) + a(41) + a(52) + a(63) + a(74) + a(85) + a(108) + a(119) + a(130) + a(141) = s1 a( 7) + a(18) + a(29) + a(40) + a(51) + a(62) + a(73) + a(96) + a(107) + a(118) + a(129) + a(140) = s1 a( 6) + a(17) + a(28) + a(39) + a(50) + a(61) + a(84) + a(95) + a(106) + a(117) + a(128) + a(139) = s1 a( 5) + a(16) + a(27) + a(38) + a(49) + a(72) + a(83) + a(94) + a(105) + a(116) + a(127) + a(138) = s1 a( 4) + a(15) + a(26) + a(37) + a(60) + a(71) + a(82) + a(93) + a(104) + a(115) + a(126) + a(137) = s1 a( 3) + a(14) + a(25) + a(48) + a(59) + a(70) + a(81) + a(92) + a(103) + a(114) + a(125) + a(136) = s1 a( 2) + a(13) + a(36) + a(47) + a(58) + a(69) + a(80) + a(91) + a(102) + a(113) + a(124) + a(135) = s1 a( 1) + a(24) + a(35) + a(46) + a(57) + a(68) + a(79) + a(90) + a(101) + a(112) + a(123) + a(134) = s1 The main bent diagonals and all the bent diagonals parallel to it sum to the Magic Constant: a( 1) + a(14) + a(27) + a(40) + a(53) + a(66) + a(78) + a(89) + a(100) + a(111) + a(122) + a(133) = s1 a( 2) + a(15) + a(28) + a(41) + a(54) + a(67) + a(79) + a(90) + a(101) + a(112) + a(123) + a(134) = s1 a( 3) + a(16) + a(29) + a(42) + a(55) + a(68) + a(80) + a(91) + a(102) + a(113) + a(124) + a(135) = s1 a( 4) + a(17) + a(30) + a(43) + a(56) + a(69) + a(81) + a(92) + a(103) + a(114) + a(125) + a(136) = s1 a( 5) + a(18) + a(31) + a(44) + a(57) + a(70) + a(82) + a(93) + a(104) + a(115) + a(126) + a(137) = s1 a( 6) + a(19) + a(32) + a(45) + a(58) + a(71) + a(83) + a(94) + a(105) + a(116) + a(127) + a(138) = s1 a( 7) + a(20) + a(33) + a(46) + a(59) + a(72) + a(84) + a(95) + a(106) + a(117) + a(128) + a(139) = s1 a( 8) + a(21) + a(34) + a(47) + a(60) + a(61) + a(73) + a(96) + a(107) + a(118) + a(129) + a(140) = s1 a( 9) + a(22) + a(35) + a(48) + a(49) + a(62) + a(74) + a(85) + a(108) + a(119) + a(130) + a(141) = s1 a(10) + a(23) + a(36) + a(37) + a(50) + a(63) + a(75) + a(86) + a( 97) + a(120) + a(131) + a(142) = s1 a(11) + a(24) + a(25) + a(38) + a(51) + a(64) + a(76) + a(87) + a( 98) + a(109) + a(132) + a(143) = s1 a(12) + a(13) + a(26) + a(39) + a(52) + a(65) + a(77) + a(88) + a( 99) + a(110) + a(121) + a(144) = s1 a( 1) + a(24) + a(35) + a(46) + a(57) + a(68) + a(80) + a(93) + a(106) + a(119) + a(132) + a(133) = s1 a( 2) + a(13) + a(36) + a(47) + a(58) + a(69) + a(81) + a(94) + a(107) + a(120) + a(121) + a(134) = s1 a( 3) + a(14) + a(25) + a(48) + a(59) + a(70) + a(82) + a(95) + a(108) + a(109) + a(122) + a(135) = s1 a( 4) + a(15) + a(26) + a(37) + a(60) + a(71) + a(83) + a(96) + a( 97) + a(110) + a(123) + a(136) = s1 a( 5) + a(16) + a(27) + a(38) + a(49) + a(72) + a(84) + a(85) + a( 98) + a(111) + a(124) + a(137) = s1 a( 6) + a(17) + a(28) + a(39) + a(50) + a(61) + a(73) + a(86) + a( 99) + a(112) + a(125) + a(138) = s1 a( 7) + a(18) + a(29) + a(40) + a(51) + a(62) + a(74) + a(87) + a(100) + a(113) + a(126) + a(139) = s1 a( 8) + a(19) + a(30) + a(41) + a(52) + a(63) + a(75) + a(88) + a(101) + a(114) + a(127) + a(140) = s1 a( 9) + a(20) + a(31) + a(42) + a(53) + a(64) + a(76) + a(89) + a(102) + a(115) + a(128) + a(141) = s1 a(10) + a(21) + a(32) + a(43) + a(54) + a(65) + a(77) + a(90) + a(103) + a(116) + a(129) + a(142) = s1 a(11) + a(22) + a(33) + a(44) + a(55) + a(66) + a(78) + a(91) + a(104) + a(117) + a(130) + a(143) = s1 a(12) + a(23) + a(34) + a(45) + a(56) + a(67) + a(79) + a(92) + a(105) + a(118) + a(131) + a(144) = s1 a(  1) + a( 14) + a( 27) + a( 40) + a( 53) + a( 66) + a( 67) + a( 56) + a( 45) + a( 34) + a( 23) + a( 12) = s1 a( 13) + a( 26) + a( 39) + a( 52) + a( 65) + a( 78) + a( 79) + a( 68) + a( 57) + a( 46) + a( 35) + a( 24) = s1 a( 25) + a( 38) + a( 51) + a( 64) + a( 77) + a( 90) + a( 91) + a( 80) + a( 69) + a( 58) + a( 47) + a( 36) = s1 a( 37) + a( 50) + a( 63) + a( 76) + a( 89) + a(102) + a(103) + a( 92) + a( 81) + a( 70) + a( 59) + a( 48) = s1 a( 49) + a( 62) + a( 75) + a( 88) + a(101) + a(114) + a(115) + a(104) + a( 93) + a( 82) + a( 71) + a( 60) = s1 a( 61) + a( 74) + a( 87) + a(100) + a(113) + a(126) + a(127) + a(116) + a(105) + a( 94) + a( 83) + a( 72) = s1 a( 73) + a( 86) + a( 99) + a(112) + a(125) + a(138) + a(139) + a(128) + a(117) + a(106) + a( 95) + a( 84) = s1 a( 85) + a( 98) + a(111) + a(124) + a(137) + a(  6) + a(  7) + a(140) + a(129) + a(118) + a(107) + a( 96) = s1 a( 97) + a(110) + a(123) + a(136) + a(  5) + a( 18) + a( 19) + a(  8) + a(141) + a(130) + a(119) + a(108) = s1 a(109) + a(122) + a(135) + a(  4) + a( 17) + a( 30) + a( 31) + a( 20) + a(  9) + a(142) + a(131) + a(120) = s1 a(121) + a(134) + a(  3) + a( 16) + a( 29) + a( 42) + a( 43) + a( 32) + a( 21) + a( 10) + a(143) + a(132) = s1 a(133) + a(  2) + a( 15) + a( 28) + a( 41) + a( 54) + a( 55) + a( 44) + a( 33) + a( 22) + a( 11) + a(144) = s1 a(  1) + a(134) + a(123) + a(112) + a(101) + a( 90) + a( 91) + a(104) + a(117) + a(130) + a(143) + a( 12) = s1 a( 13) + a(  2) + a(135) + a(124) + a(113) + a(102) + a(103) + a(116) + a(129) + a(142) + a( 11) + a( 24) = s1 a( 25) + a( 14) + a(  3) + a(136) + a(125) + a(114) + a(115) + a(128) + a(141) + a( 10) + a( 23) + a( 36) = s1 a( 37) + a( 26) + a( 15) + a(  4) + a(137) + a(126) + a(127) + a(140) + a(  9) + a( 22) + a( 35) + a( 48) = s1 a( 49) + a( 38) + a( 27) + a( 16) + a(  5) + a(138) + a(139) + a(  8) + a( 21) + a( 34) + a( 47) + a( 60) = s1 a( 61) + a( 50) + a( 39) + a( 28) + a( 17) + a(  6) + a(  7) + a( 20) + a( 33) + a( 46) + a( 59) + a( 72) = s1 a( 73) + a( 62) + a( 51) + a( 40) + a( 29) + a( 18) + a( 19) + a( 32) + a( 45) + a( 58) + a( 71) + a( 84) = s1 a( 85) + a( 74) + a( 63) + a( 52) + a( 41) + a( 30) + a( 31) + a( 44) + a( 57) + a( 70) + a( 83) + a( 96) = s1 a( 97) + a( 86) + a( 75) + a( 64) + a( 53) + a( 42) + a( 43) + a( 56) + a( 69) + a( 82) + a( 95) + a(108) = s1 a(109) + a( 98) + a( 87) + a( 76) + a( 65) + a( 54) + a( 55) + a( 68) + a( 81) + a( 94) + a(107) + a(120) = s1 a(121) + a(110) + a( 99) + a( 88) + a( 77) + a( 66) + a( 67) + a( 80) + a( 93) + a(106) + a(119) + a(132) = s1 a(133) + a(122) + a(111) + a(100) + a( 89) + a( 78) + a( 79) + a( 92) + a(105) + a(118) + a(131) + a(144) = s1 Every 2 × 2 sub square sums to one third of the Magic Constant: a(i) + a(i+1) + a(i+12) + a(i+13) = s1/3 with 1 =< i < 132 and i ≠ 12*n for n = 1, 2 ... 11 a(i) + a(i+1) + a(i+12) + a(i-11) = s1/3 with i = 12*n for n = 1, 2 ... 11 a(i) + a(i+1) + a(i+132) + a(i+133) = s1/3 with i = 1, 2 ... 11 a(1) + a(12)   + a(133)   + a(144)   = s1/3 The resulting number of equations can be written in the matrix representation as:           →   →      AM * a = s which can be reduced, by means of row and column manipulations, and results in following set of linear equations: a(141) =  290 - a(142) - a(143) - a(144) a(137) =  290 - a(138) - a(139) - a(140) a(134) =  145 - a(136) - a(138) - a(139) + a(142) + a(144) a(133) =  145 - a(135) + a(138) + a(139) - a(142) - a(144) a(131) =  290 - a(132) - a(143) - a(144) a(130) =        a(132) - a(142) + a(144) a(129) =      - a(132) + a(142) + a(143) a(128) =        a(132) - a(140) + a(144) a(127) =  290 - a(132) - a(139) - a(144) a(126) =        a(132) - a(138) + a(144) a(125) =      - a(132) + a(138) + a(139) + a(140) - a(144) a(124) =        a(132) - a(136) + a(144) a(123) =  290 - a(132) - a(135) - a(144) a(122) = -145 + a(132) + a(136) + a(138) + a(139) - a(142) a(121) =  145 - a(132) + a(135) - a(138) - a(139) + a(142) a(119) =      - a(120) + a(143) + a(144) a(118) =        a(120) + a(142) - a(144) a(117) =  290 - a(120) - a(142) - a(143) a(116) =        a(120) + a(140) - a(144) a(115) =      - a(120) + a(139) + a(144) a(114) =        a(120) + a(138) - a(144) a(113) =  290 - a(120) - a(138) - a(139) - a(140) + a(144) a(112) =        a(120) + a(136) - a(144) a(111) =      - a(120) + a(135) + a(144) a(110) =  145 + a(120) - a(136) - a(138) - a(139) + a(142) a(109) =  145 - a(120) - a(135) + a(138) + a(139) - a(142) a(108) =  290 - a(120) - a(132) - a(144) a(107) =        a(120) + a(132) - a(143) a(106) =  290 - a(120) - a(132) - a(142) a(105) = -290 + a(120) + a(132) + a(142) + a(143) + a(144) a(104) =  290 - a(120) - a(132) - a(140) a(103) =        a(120) + a(132) - a(139) a(102) =  290 - a(120) - a(132) - a(138) a(101) = -290 + a(120) + a(132) + a(138) + a(139) + a(140) a(100) =  290 - a(120) - a(132) - a(136) a( 99) =        a(120) + a(132) - a(135) a( 98) =  145 - a(120) - a(132) + a(136) + a(138) + a(139) - a(142) - a(144) a( 97) = -145 + a(120) + a(132) + a(135) - a(138) - a(139) + a(142) + a(144) a( 95) =      - a( 96) + a(143) + a(144) a( 94) =        a( 96) + a(142) - a(144) a( 93) =  290 - a( 96) - a(142) - a(143) a( 92) =        a( 96) + a(140) - a(144) a( 91) =      - a( 96) + a(139) + a(144) a( 90) =        a( 96) + a(138) - a(144) a( 89) =  290 - a( 96) - a(138) - a(139) - a(140) + a(144) a( 88) =        a( 96) + a(136) - a(144) a( 87) =      - a( 96) + a(135) + a(144) a( 86) =  145 + a( 96) - a(136) - a(138) - a(139) + a(142) a( 85) =  145 - a( 96) - a(135) + a(138) + a(139) - a(142) a( 84) = -145 + a( 96) + 2 * a(120) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a( 83) =  435 - a( 96) - 2 * a(120) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) - a(143) + a(144) a( 82) = -145 + a( 96) + 2 * a(120) - a(139) + a(140) + a(142) - a(144) a( 81) =  145 - a( 96) - 2 * a(120) + a(139) - a(140) - a(142) + a(143) + 2 * a(144) a( 80) = -145 + a( 96) + 2 * a(120) - a(139) + 2 * a(142) - a(144) a( 79) =  435 - a( 96) - 2 * a(120) - a(140) - 2 * a(142) + a(144) a( 78) = -145 + a( 96) + 2 * a(120) - a(138) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - a(144) a( 77) =  145 - a( 96) - 2 * a(120) + a(138) + 2 * a(139) - 2 * a(142) + a(144) a( 76) = -145 + a( 96) + 2 * a(120) - a(136) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - a(144) a( 75) =  435 - a( 96) - 2 * a(120) - a(135) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + a(144) a( 74) = -290 + a( 96) + 2 * a(120) + a(136) + a(138) + a(140) + a(142) - 2 * a(144) a( 73) =  290 - a( 96) - 2 * a(120) + a(135) - a(138) - a(140) - a(142) + 2 * a(144) a( 71) =      - a( 72) + a(143) + a(144) a( 70) =        a( 72) + a(142) - a(144) a( 69) =  290 - a( 72) - a(142) - a(143) a( 68) =        a( 72) + a(140) - a(144) a( 67) =      - a( 72) + a(139) + a(144) a( 66) =        a( 72) + a(138) - a(144) a( 65) =  290 - a( 72) - a(138) - a(139) - a(140) + a(144) a( 64) =        a( 72) + a(136) - a(144) a( 63) =      - a( 72) + a(135) + a(144) a( 62) =  145 + a( 72) - a(136) - a(138) - a(139) + a(142) a( 61) =  145 - a( 72) - a(135) + a(138) + a(139) - a(142) a( 60) =  435 - a( 72) - 2 * a(96) - 2 * a(120) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a( 59) = -145 + a( 72) + 2 * a(96) + 2 * a(120) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - a(143) - 3 * a(144) a( 58) =  435 - a( 72) - 2 * a(96) - 2 * a(120) + a(139) - a(140) - 3 * a(142) + 3 * a(144) a( 57) = -435 + a( 72) + 2 * a(96) + 2 * a(120) - a(139) + a(140) + 3 * a(142) + a(143) - 2 * a(144) a( 56) =  435 - a( 72) - 2 * a(96) - 2 * a(120) + a(139) - 2 * a(140) - 2 * a(142) + 3 * a(144) a( 55) = -145 + a( 72) + 2 * a(96) + 2 * a(120) - 2 * a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 3 * a(144) a( 54) =  435 - a( 72) - 2 * a(96) - 2 * a(120) - a(138) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 3 * a(144) a( 53) = -435 + a( 72) + 2 * a(96) + 2 * a(120) + a(138) + 2 * a(140) + 2 * a(142) - 3 * a(144) a( 52) =  435 - a( 72) - 2 * a(96) - 2 * a(120) - a(136) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 3 * a(144) a( 51) = -145 + a( 72) + 2 * a(96) + 2 * a(120) - a(135) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 3 * a(144) a( 50) =  290 - a( 72) - 2 * a(96) - 2 * a(120) + a(136) + a(138) + 2 * a(139) - a(140) - 3 * a(142) + 2 * a(144) a( 49) = -290 + a( 72) + 2 * a(96) + 2 * a(120) + a(135) - a(138) - 2 * a(139) + a(140) + 3 * a(142) - 2 * a(144) a( 47) =      - a(48) + a(143) + a(144) a( 46) =        a(48) + a(142) - a(144) a( 45) =  290 - a(48) - a(142) - a(143) a( 44) =        a(48) + a(140) - a(144) a( 43) =      - a(48) + a(139) + a(144) a( 42) =        a(48) + a(138) - a(144) a( 41) =  290 - a(48) - a(138) - a(139) - a(140) + a(144) a( 40) =        a(48) + a(136) - a(144) a( 39) =      - a(48) + a(135) + a(144) a( 38) =  145 + a(48) - a(136) - a(138) - a(139) + a(142) a( 37) =  145 - a(48) - a(135) + a(138) + a(139) - a(142) a( 35) =  290 - a(36) - a(143) - a(144) a( 34) =        a(36) - a(142) + a(144) a( 33) =      - a(36) + a(142) + a(143) a( 32) =        a(36) - a(140) + a(144) a( 31) =  290 - a(36) - a(139) - a(144) a( 30) =        a(36) - a(138) + a(144) a( 29) =      - a(36) + a(138) + a(139) + a(140) - a(144) a( 28) =        a(36) - a(136) + a(144) a( 27) =  290 - a(36) - a(135) - a(144) a( 26) = -145 + a(36) + a(136) + a(138) + a(139) - a(142) a( 25) =  145 - a(36) + a(135) - a(138) - a(139) + a(142) a( 24) =  290 - a(48) - a(72) - a(96) - a(120) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 3 * a(144) a( 23) = -290 + a(48) + a(72) + a(96) + a(120) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) + a(143) - 2 * a(144) a( 22) =  290 - a(48) - a(72) - a(96) - a(120) + a(139) - a(140) - a(142) + 2 * a(144) a( 21) =        a(48) + a(72) + a(96) + a(120) - a(139) + a(140) + a(142) - a(143) - 3 * a(144) a( 20) =  290 - a(48) - a(72) - a(96) - a(120) + a(139) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a( 19) = -290 + a(48) + a(72) + a(96) + a(120) + a(140) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a( 18) =  290 - a(48) - a(72) - a(96) - a(120) + a(138) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a( 17) =        a(48) + a(72) + a(96) + a(120) - a(138) - 2 * a(139) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a( 16) =  290 - a(48) - a(72) - a(96) - a(120) + a(136) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a( 15) = -290 + a(48) + a(72) + a(96) + a(120) + a(135) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a( 14) =  435 - a(48) - a(72) - a(96) - a(120) - a(136) - a(138) - a(140) - a(142) + 3 * a(144) a( 13) = -145 + a(48) + a(72) + a(96) + a(120) - a(135) + a(138) + a(140) + a(142) - 3 * a(144) a( 12) =      - a(36) + a(72) + a(96) + a(120) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 3 * a(144) a( 11) =  290 + a(36) - a(72) - a(96) - a(120) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) - a(143) + 2 * a(144) a( 10) =      - a(36) + a(72) + a(96) + a(120) - a(139) + a(140) + a(142) - 2 * a(144) a(  9) =        a(36) - a(72) - a(96) - a(120) + a(139) - a(140) - a(142) + a(143) + 3 * a(144) a(  8) =      - a(36) + a(72) + a(96) + a(120) - a(139) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a(  7) =  290 + a(36) - a(72) - a(96) - a(120) - a(140) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a(  6) =      - a(36) + a(72) + a(96) + a(120) - a(138) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a(  5) =        a(36) - a(72) - a(96) - a(120) + a(138) + 2 * a(139) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a(  4) =      - a(36) + a(72) + a(96) + a(120) - a(136) - a(139) + a(140) + 2 * a(142) - 2 * a(144) a(  3) =  290 + a(36) - a(72) - a(96) - a(120) - a(135) + a(139) - a(140) - 2 * a(142) + 2 * a(144) a(  2) = -145 - a(36) + a(72) + a(96) + a(120) + a(136) + a(138) + a(140) + a(142) - 3 * a(144) a(  1) =  145 + a(36) - a(72) - a(96) - a(120) + a(135) - a(138) - a(140) - a(142) + 3 * a(144) The solutions can be obtained by guessing:    a(36), a(48), a(72), a(96), a(120), a(132), a(135), a(136), a(138) ... a(140) and a(142) ... a(144) and filling out these guesses in the abovementioned equations. For distinct integers also following inequalities should be applied: 0 < a(i) =< 144       for i =   1, 2 ... 35, 37 ... 47, 49 ... 71, 73 ... 95, 97 ... 119, 121 ... 131                           i = 133, 134, 137, 141 a(i) ≠ a(j)           for i ≠ j With a(136), a(138) ... a(140) and a(142) ... a(144) constant, an optimized guessing routine (MgcSqr12b), produced 768 Pan Magic Squares within 90 seconds (ref. Attachment 12.2a).