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12.3   Franklin Squares (16 x 16)

12.3.1 Introduction

Also following Magic Square was constructed by Benjamin Franklin:

200 217 232 249 8 25 40 57
58 39 26 7 250 231 218 199
198 219 230 251 6 27 38 59
60 37 28 5 252 229 220 197
201 216 233 248 9 24 41 56
55 42 23 10 247 234 215 202
203 214 235 246 11 22 43 54
53 44 21 12 245 236 213 204
72 89 104 121 136 153 168 185
186 167 154 135 122 103 90 71
70 91 102 123 134 155 166 187
188 165 156 133 124 101 92 69
73 88 105 120 137 152 169 184
183 170 151 138 119 106 87 74
75 86 107 118 139 150 171 182
181 172 149 140 117 108 85 76
205 212 237 244 13 20 45 52
51 46 19 14 243 238 211 206
207 210 239 242 15 18 47 50
49 48 17 16 241 240 209 208
196 221 228 253 4 29 36 61
62 35 30 3 254 227 222 195
194 223 226 255 2 31 34 63
64 33 32 1 256 225 224 193
77 84 109 116 141 148 173 180
179 174 147 142 115 110 83 78
79 82 111 114 143 146 175 178
177 176 145 144 113 112 81 80
68 93 100 125 132 157 164 189
190 163 158 131 126 99 94 67
66 95 98 127 130 159 162 191
192 161 160 129 128 97 96 65

The square has been constructed based on the same properties as the 8 x 8 Square described in section 8.4.1 which can be summarized as follows:

1. All half-rows and half-columns sum to half the Magic Constant;
2. The main bent diagonals and all the bent diagonals parallel to it sum to the Magic Constant;
3. All 2 × 2 sub squares sum to one quarter the Magic Constant.

In addition to this the following property applies as well:

4. The 4 middle rows and columns of each 8 x 8 sub square sum to s1/4.

It should be noted that also for border rows an columns of the 8 x 8 Sub Squares the third property applies.

However the 8 x 8 Sub Squares are not Franklin Squares as the half-rows and half-columns don’t sum to the same number, nor do the right to left or left to right bent rows.

It is said that Benjamin Franklin, while presenting the 16 x 16 square shown above, emphasized that all 4 x 4 Sub Squares sum to the Magic Constant as well, however this is also just a consequence of property 3.

12.3.2 Analysis

The properties mentioned in section 12.3.1 above result in following set of linear equations:

Every half-row sums to half the Magic Constant:

a(  1) + a(  2) + a(  3) + a(  4) + a(  5) + a(  6) + a(  7) + a(  8) = s1/2
a( 17) + a( 18) + a( 19) + a( 20) + a( 21) + a( 22) + a( 23) + a( 24) = s1/2
a( 33) + a( 34) + a( 35) + a( 36) + a( 37) + a( 38) + a( 39) + a( 40) = s1/2
a( 49) + a( 50) + a( 51) + a( 52) + a( 53) + a( 54) + a( 55) + a( 56) = s1/2
a( 65) + a( 66) + a( 67) + a( 68) + a( 69) + a( 70) + a( 71) + a( 72) = s1/2
a( 81) + a( 82) + a( 83) + a( 84) + a( 85) + a( 86) + a( 87) + a( 88) = s1/2
a( 97) + a( 98) + a( 99) + a(100) + a(101) + a(102) + a(103) + a(104) = s1/2
a(113) + a(114) + a(115) + a(116) + a(117) + a(118) + a(119) + a(120) = s1/2

a(  9) + a( 10) + a( 11) + a( 12) + a( 13) + a( 14) + a( 15) + a( 16) = s1/2
a( 25) + a( 26) + a( 27) + a( 28) + a( 29) + a( 30) + a( 31) + a( 32) = s1/2
a( 41) + a( 42) + a( 43) + a( 44) + a( 45) + a( 46) + a( 47) + a( 48) = s1/2
a( 57) + a( 58) + a( 59) + a( 60) + a( 61) + a( 62) + a( 63) + a( 64) = s1/2
a( 73) + a( 74) + a( 75) + a( 76) + a( 77) + a( 78) + a( 79) + a( 80) = s1/2
a( 89) + a( 90) + a( 91) + a( 92) + a( 93) + a( 94) + a( 95) + a( 96) = s1/2
a(105) + a(106) + a(107) + a(108) + a(109) + a(110) + a(111) + a(112) = s1/2
a(121) + a(122) + a(123) + a(124) + a(125) + a(126) + a(127) + a(128) = s1/2

a(129) + a(130) + a(131) + a(132) + a(133) + a(134) + a(135) + a(136) = s1/2
a(145) + a(146) + a(147) + a(148) + a(149) + a(150) + a(151) + a(152) = s1/2
a(161) + a(162) + a(163) + a(164) + a(165) + a(166) + a(167) + a(168) = s1/2
a(177) + a(178) + a(179) + a(180) + a(181) + a(182) + a(183) + a(184) = s1/2
a(193) + a(194) + a(195) + a(196) + a(197) + a(198) + a(199) + a(200) = s1/2
a(209) + a(210) + a(211) + a(212) + a(213) + a(214) + a(215) + a(216) = s1/2
a(225) + a(226) + a(227) + a(228) + a(229) + a(230) + a(231) + a(232) = s1/2
a(241) + a(242) + a(243) + a(244) + a(245) + a(246) + a(247) + a(248) = s1/2

a(137) + a(138) + a(139) + a(140) + a(141) + a(142) + a(143) + a(144) = s1/2
a(153) + a(154) + a(155) + a(156) + a(157) + a(158) + a(159) + a(160) = s1/2
a(169) + a(170) + a(171) + a(172) + a(173) + a(174) + a(175) + a(176) = s1/2
a(185) + a(186) + a(187) + a(188) + a(189) + a(190) + a(191) + a(192) = s1/2
a(201) + a(202) + a(203) + a(204) + a(205) + a(206) + a(207) + a(208) = s1/2
a(217) + a(218) + a(219) + a(220) + a(221) + a(222) + a(223) + a(224) = s1/2
a(233) + a(234) + a(235) + a(236) + a(237) + a(238) + a(239) + a(240) = s1/2
a(249) + a(250) + a(251) + a(252) + a(253) + a(254) + a(255) + a(256) = s1/2

Every half-column sums to half the Magic Constant:

a(  1) + a( 17) + a( 33) + a( 49) + a( 65) + a( 81) + a( 97) + a(113) = s1/2
a(  2) + a( 18) + a( 34) + a( 50) + a( 66) + a( 82) + a( 98) + a(114) = s1/2
a(  3) + a( 19) + a( 35) + a( 51) + a( 67) + a( 83) + a( 99) + a(115) = s1/2
a(  4) + a( 20) + a( 36) + a( 52) + a( 68) + a( 84) + a(100) + a(116) = s1/2
a(  5) + a( 21) + a( 37) + a( 53) + a( 69) + a( 85) + a(101) + a(117) = s1/2
a(  6) + a( 22) + a( 38) + a( 54) + a( 70) + a( 86) + a(102) + a(118) = s1/2
a(  7) + a( 23) + a( 39) + a( 55) + a( 71) + a( 87) + a(103) + a(119) = s1/2
a(  8) + a( 24) + a( 40) + a( 56) + a( 72) + a( 88) + a(104) + a(120) = s1/2

a(  9) + a( 25) + a( 41) + a( 57) + a( 73) + a( 89) + a(105) + a(121) = s1/2
a( 10) + a( 26) + a( 42) + a( 58) + a( 74) + a( 90) + a(106) + a(122) = s1/2
a( 11) + a( 27) + a( 43) + a( 59) + a( 75) + a( 91) + a(107) + a(123) = s1/2
a( 12) + a( 28) + a( 44) + a( 60) + a( 76) + a( 92) + a(108) + a(124) = s1/2
a( 13) + a( 29) + a( 45) + a( 61) + a( 77) + a( 93) + a(109) + a(125) = s1/2
a( 14) + a( 30) + a( 46) + a( 62) + a( 78) + a( 94) + a(110) + a(126) = s1/2
a( 15) + a( 31) + a( 47) + a( 63) + a( 79) + a( 95) + a(111) + a(127) = s1/2
a( 16) + a( 32) + a( 48) + a( 64) + a( 80) + a( 96) + a(112) + a(128) = s1/2

a(129) + a(145) + a(161) + a(177) + a(193) + a(209) + a(225) + a(241) = s1/2
a(130) + a(146) + a(162) + a(178) + a(194) + a(210) + a(226) + a(242) = s1/2
a(131) + a(147) + a(163) + a(179) + a(195) + a(211) + a(227) + a(243) = s1/2
a(132) + a(148) + a(164) + a(180) + a(196) + a(212) + a(228) + a(244) = s1/2
a(133) + a(149) + a(165) + a(181) + a(197) + a(213) + a(229) + a(245) = s1/2
a(134) + a(150) + a(166) + a(182) + a(198) + a(214) + a(230) + a(246) = s1/2
a(135) + a(151) + a(167) + a(183) + a(199) + a(215) + a(231) + a(247) = s1/2
a(136) + a(152) + a(168) + a(184) + a(200) + a(216) + a(232) + a(248) = s1/2

a(137) + a(153) + a(169) + a(185) + a(201) + a(217) + a(233) + a(249) = s1/2
a(138) + a(154) + a(170) + a(186) + a(202) + a(218) + a(234) + a(250) = s1/2
a(139) + a(155) + a(171) + a(187) + a(203) + a(219) + a(235) + a(251) = s1/2
a(140) + a(156) + a(172) + a(188) + a(204) + a(220) + a(236) + a(252) = s1/2
a(141) + a(157) + a(173) + a(189) + a(205) + a(221) + a(237) + a(253) = s1/2
a(142) + a(158) + a(174) + a(190) + a(206) + a(222) + a(238) + a(254) = s1/2
a(143) + a(159) + a(175) + a(191) + a(207) + a(223) + a(239) + a(255) = s1/2
a(144) + a(160) + a(176) + a(192) + a(208) + a(224) + a(240) + a(256) = s1/2

The numbers of the main bent diagonals and all the bent diagonals parallel to it sum to the Magic Constant:

a( 1)+a(18)+a(35)+a(52)+a(69)+a(86)+a(103)+a(120)+a(136)+a(151)+a(166)+a(181)+a(196)+a(211)+a(226)+a(241) = s1
a( 2)+a(19)+a(36)+a(53)+a(70)+a(87)+a(104)+a(121)+a(137)+a(152)+a(167)+a(182)+a(197)+a(212)+a(227)+a(242) = s1
a( 3)+a(20)+a(37)+a(54)+a(71)+a(88)+a(105)+a(122)+a(138)+a(153)+a(168)+a(183)+a(198)+a(213)+a(228)+a(243) = s1
a( 4)+a(21)+a(38)+a(55)+a(72)+a(89)+a(106)+a(123)+a(139)+a(154)+a(169)+a(184)+a(199)+a(214)+a(229)+a(244) = s1
a( 5)+a(22)+a(39)+a(56)+a(73)+a(90)+a(107)+a(124)+a(140)+a(155)+a(170)+a(185)+a(200)+a(215)+a(230)+a(245) = s1
a( 6)+a(23)+a(40)+a(57)+a(74)+a(91)+a(108)+a(125)+a(141)+a(156)+a(171)+a(186)+a(201)+a(216)+a(231)+a(246) = s1
a( 7)+a(24)+a(41)+a(58)+a(75)+a(92)+a(109)+a(126)+a(142)+a(157)+a(172)+a(187)+a(202)+a(217)+a(232)+a(247) = s1
a( 8)+a(25)+a(42)+a(59)+a(76)+a(93)+a(110)+a(127)+a(143)+a(158)+a(173)+a(188)+a(203)+a(218)+a(233)+a(248) = s1
a( 9)+a(26)+a(43)+a(60)+a(77)+a(94)+a(111)+a(128)+a(144)+a(159)+a(174)+a(189)+a(204)+a(219)+a(234)+a(249) = s1
a(10)+a(27)+a(44)+a(61)+a(78)+a(95)+a(112)+a(113)+a(129)+a(160)+a(175)+a(190)+a(205)+a(220)+a(235)+a(250) = s1
a(11)+a(28)+a(45)+a(62)+a(79)+a(96)+a( 97)+a(114)+a(130)+a(145)+a(176)+a(191)+a(206)+a(221)+a(236)+a(251) = s1
a(12)+a(29)+a(46)+a(63)+a(80)+a(81)+a( 98)+a(115)+a(131)+a(146)+a(161)+a(192)+a(207)+a(222)+a(237)+a(252) = s1
a(13)+a(30)+a(47)+a(64)+a(65)+a(82)+a( 99)+a(116)+a(132)+a(147)+a(162)+a(177)+a(208)+a(223)+a(238)+a(253) = s1
a(14)+a(31)+a(48)+a(49)+a(66)+a(83)+a(100)+a(117)+a(133)+a(148)+a(163)+a(178)+a(193)+a(224)+a(239)+a(254) = s1
a(15)+a(32)+a(33)+a(50)+a(67)+a(84)+a(101)+a(118)+a(134)+a(149)+a(164)+a(179)+a(194)+a(209)+a(240)+a(255) = s1
a(16)+a(17)+a(34)+a(51)+a(68)+a(85)+a(102)+a(119)+a(135)+a(150)+a(165)+a(180)+a(195)+a(210)+a(225)+a(256) = s1

a( 1)+a(32)+a(47)+a(62)+a(77)+a(92)+a(107)+a(122)+a(138)+a(155)+a(172)+a(189)+a(206)+a(223)+a(240)+a(241) = s1
a( 2)+a(17)+a(48)+a(63)+a(78)+a(93)+a(108)+a(123)+a(139)+a(156)+a(173)+a(190)+a(207)+a(224)+a(225)+a(242) = s1
a( 3)+a(18)+a(33)+a(64)+a(79)+a(94)+a(109)+a(124)+a(140)+a(157)+a(174)+a(191)+a(208)+a(209)+a(226)+a(243) = s1
a( 4)+a(19)+a(34)+a(49)+a(80)+a(95)+a(110)+a(125)+a(141)+a(158)+a(175)+a(192)+a(193)+a(210)+a(227)+a(244) = s1
a( 5)+a(20)+a(35)+a(50)+a(65)+a(96)+a(111)+a(126)+a(142)+a(159)+a(176)+a(177)+a(194)+a(211)+a(228)+a(245) = s1
a( 6)+a(21)+a(36)+a(51)+a(66)+a(81)+a(112)+a(127)+a(143)+a(160)+a(161)+a(178)+a(195)+a(212)+a(229)+a(246) = s1
a( 7)+a(22)+a(37)+a(52)+a(67)+a(82)+a( 97)+a(128)+a(144)+a(145)+a(162)+a(179)+a(196)+a(213)+a(230)+a(247) = s1
a( 8)+a(23)+a(38)+a(53)+a(68)+a(83)+a( 98)+a(113)+a(129)+a(146)+a(163)+a(180)+a(197)+a(214)+a(231)+a(248) = s1
a( 9)+a(24)+a(39)+a(54)+a(69)+a(84)+a( 99)+a(114)+a(130)+a(147)+a(164)+a(181)+a(198)+a(215)+a(232)+a(249) = s1
a(10)+a(25)+a(40)+a(55)+a(70)+a(85)+a(100)+a(115)+a(131)+a(148)+a(165)+a(182)+a(199)+a(216)+a(233)+a(250) = s1
a(11)+a(26)+a(41)+a(56)+a(71)+a(86)+a(101)+a(116)+a(132)+a(149)+a(166)+a(183)+a(200)+a(217)+a(234)+a(251) = s1
a(12)+a(27)+a(42)+a(57)+a(72)+a(87)+a(102)+a(117)+a(133)+a(150)+a(167)+a(184)+a(201)+a(218)+a(235)+a(252) = s1
a(13)+a(28)+a(43)+a(58)+a(73)+a(88)+a(103)+a(118)+a(134)+a(151)+a(168)+a(185)+a(202)+a(219)+a(236)+a(253) = s1
a(14)+a(29)+a(44)+a(59)+a(74)+a(89)+a(104)+a(119)+a(135)+a(152)+a(169)+a(186)+a(203)+a(220)+a(237)+a(254) = s1
a(15)+a(30)+a(45)+a(60)+a(75)+a(90)+a(105)+a(120)+a(136)+a(153)+a(170)+a(187)+a(204)+a(221)+a(238)+a(255) = s1
a(16)+a(31)+a(46)+a(61)+a(76)+a(91)+a(106)+a(121)+a(137)+a(154)+a(171)+a(188)+a(205)+a(222)+a(239)+a(256) = s1

a(  1)+a( 18)+a( 35)+a( 52)+a( 69)+a( 86)+a(103)+a(120)+a( 16)+a( 31)+a( 46)+a( 61)+a( 76)+a( 91)+a(106)+a(121) = s1
a( 17)+a( 34)+a( 51)+a( 68)+a( 85)+a(102)+a(119)+a(136)+a( 32)+a( 47)+a( 62)+a( 77)+a( 92)+a(107)+a(122)+a(137) = s1
a( 33)+a( 50)+a( 67)+a( 84)+a(101)+a(118)+a(135)+a(152)+a( 48)+a( 63)+a( 78)+a( 93)+a(108)+a(123)+a(138)+a(153) = s1
a( 49)+a( 66)+a( 83)+a(100)+a(117)+a(134)+a(151)+a(168)+a( 64)+a( 79)+a( 94)+a(109)+a(124)+a(139)+a(154)+a(169) = s1
a( 65)+a( 82)+a( 99)+a(116)+a(133)+a(150)+a(167)+a(184)+a( 80)+a( 95)+a(110)+a(125)+a(140)+a(155)+a(170)+a(185) = s1
a( 81)+a( 98)+a(115)+a(132)+a(149)+a(166)+a(183)+a(200)+a( 96)+a(111)+a(126)+a(141)+a(156)+a(171)+a(186)+a(201) = s1
a( 97)+a(114)+a(131)+a(148)+a(165)+a(182)+a(199)+a(216)+a(112)+a(127)+a(142)+a(157)+a(172)+a(187)+a(202)+a(217) = s1
a(113)+a(130)+a(147)+a(164)+a(181)+a(198)+a(215)+a(232)+a(128)+a(143)+a(158)+a(173)+a(188)+a(203)+a(218)+a(233) = s1
a(129)+a(146)+a(163)+a(180)+a(197)+a(214)+a(231)+a(248)+a(144)+a(159)+a(174)+a(189)+a(204)+a(219)+a(234)+a(249) = s1
a(145)+a(162)+a(179)+a(196)+a(213)+a(230)+a(247)+a(  8)+a(160)+a(175)+a(190)+a(205)+a(220)+a(235)+a(250)+a(  9) = s1
a(161)+a(178)+a(195)+a(212)+a(229)+a(246)+a(  7)+a( 24)+a(176)+a(191)+a(206)+a(221)+a(236)+a(251)+a( 10)+a( 25) = s1
a(177)+a(194)+a(211)+a(228)+a(245)+a(  6)+a( 23)+a( 40)+a(192)+a(207)+a(222)+a(237)+a(252)+a( 11)+a( 26)+a( 41) = s1
a(193)+a(210)+a(227)+a(244)+a(  5)+a( 22)+a( 39)+a( 56)+a(208)+a(223)+a(238)+a(253)+a( 12)+a( 27)+a( 42)+a( 57) = s1
a(209)+a(226)+a(243)+a(  4)+a( 21)+a( 38)+a( 55)+a( 72)+a(224)+a(239)+a(254)+a( 13)+a( 28)+a( 43)+a( 58)+a( 73) = s1
a(225)+a(242)+a(  3)+a( 20)+a( 37)+a( 54)+a( 71)+a( 88)+a(240)+a(255)+a( 14)+a( 29)+a( 44)+a( 59)+a( 74)+a( 89) = s1
a(241)+a(  2)+a( 19)+a( 36)+a( 53)+a( 70)+a( 87)+a(104)+a(256)+a( 15)+a( 30)+a( 45)+a( 60)+a( 75)+a( 90)+a(105) = s1

a(152)+a(167)+a(182)+a(197)+a(212)+a(227)+a(242)+a(  1)+a(153)+a(170)+a(187)+a(204)+a(221)+a(238)+a(255)+a( 16) = s1
a(168)+a(183)+a(198)+a(213)+a(228)+a(243)+a(  2)+a( 17)+a(169)+a(186)+a(203)+a(220)+a(237)+a(254)+a( 15)+a( 32) = s1
a(184)+a(199)+a(214)+a(229)+a(244)+a(  3)+a( 18)+a( 33)+a(185)+a(202)+a(219)+a(236)+a(253)+a( 14)+a( 31)+a( 48) = s1
a(200)+a(215)+a(230)+a(245)+a(  4)+a( 19)+a( 34)+a( 49)+a(201)+a(218)+a(235)+a(252)+a( 13)+a( 30)+a( 47)+a( 64) = s1
a(216)+a(231)+a(246)+a(  5)+a( 20)+a( 35)+a( 50)+a( 65)+a(217)+a(234)+a(251)+a( 12)+a( 29)+a( 46)+a( 63)+a( 80) = s1
a(232)+a(247)+a(  6)+a( 21)+a( 36)+a( 51)+a( 66)+a( 81)+a(233)+a(250)+a( 11)+a( 28)+a( 45)+a( 62)+a( 79)+a( 96) = s1
a(248)+a(  7)+a( 22)+a( 37)+a( 52)+a( 67)+a( 82)+a( 97)+a(249)+a( 10)+a( 27)+a( 44)+a( 61)+a( 78)+a( 95)+a(112) = s1
a(  8)+a( 23)+a( 38)+a( 53)+a( 68)+a( 83)+a( 98)+a(113)+a(  9)+a( 26)+a( 43)+a( 60)+a( 77)+a( 94)+a(111)+a(128) = s1
a( 24)+a( 39)+a( 54)+a( 69)+a( 84)+a( 99)+a(114)+a(129)+a( 25)+a( 42)+a( 59)+a( 76)+a( 93)+a(110)+a(127)+a(144) = s1
a( 40)+a( 55)+a( 70)+a( 85)+a(100)+a(115)+a(130)+a(145)+a( 41)+a( 58)+a( 75)+a( 92)+a(109)+a(126)+a(143)+a(160) = s1
a( 56)+a( 71)+a( 86)+a(101)+a(116)+a(131)+a(146)+a(161)+a( 57)+a( 74)+a( 91)+a(108)+a(125)+a(142)+a(159)+a(176) = s1
a( 72)+a( 87)+a(102)+a(117)+a(132)+a(147)+a(162)+a(177)+a( 73)+a( 90)+a(107)+a(124)+a(141)+a(158)+a(175)+a(192) = s1
a( 88)+a(103)+a(118)+a(133)+a(148)+a(163)+a(178)+a(193)+a( 89)+a(106)+a(123)+a(140)+a(157)+a(174)+a(191)+a(208) = s1
a(104)+a(119)+a(134)+a(149)+a(164)+a(179)+a(194)+a(209)+a(105)+a(122)+a(139)+a(156)+a(173)+a(190)+a(207)+a(224) = s1
a(120)+a(135)+a(150)+a(165)+a(180)+a(195)+a(210)+a(225)+a(121)+a(138)+a(155)+a(172)+a(189)+a(206)+a(223)+a(240) = s1
a(136)+a(151)+a(166)+a(181)+a(196)+a(211)+a(226)+a(241)+a(137)+a(154)+a(171)+a(188)+a(205)+a(222)+a(239)+a(256) = s1

Every 2 × 2 sub square sums to one quarter of the Magic Constant:

a(i) + a(i+1) + a(i+16) + a(i+17) = s1/4 with 1 =< i < 240 and i ≠ 16*n for n = 1, 2 ... 15

a(i) + a(i+1) + a(i+16) + a(i-15) = s1/4 with i = 16*n for n = 1, 2 ... 15

a(i) + a(i+1) + a(i+240) + a(i+241) = s1/4 with i = 1, 2 ... 15

a(1) + a(16)   + a(241)   + a(256)   = s1/4

The 4 middle rows and columns of each 8 x 8 sub square sum to s1/4:

a(  3) + a(  4) + a(  5) + a(  6) = s1/4
a( 19) + a( 20) + a( 21) + a( 22) = s1/4
a( 35) + a( 36) + a( 37) + a( 38) = s1/4
a( 51) + a( 52) + a( 53) + a( 54) = s1/4
a( 67) + a( 68) + a( 69) + a( 70) = s1/4
a( 83) + a( 84) + a( 85) + a( 86) = s1/4
a( 99) + a(100) + a(101) + a(102) = s1/4
a(115) + a(116) + a(117) + a(118) = s1/4

a(131) + a(132) + a(133) + a(134) = s1/4
a(147) + a(148) + a(149) + a(150) = s1/4
a(163) + a(164) + a(165) + a(166) = s1/4
a(179) + a(180) + a(181) + a(182) = s1/4
a(195) + a(196) + a(197) + a(198) = s1/4
a(211) + a(212) + a(213) + a(214) = s1/4
a(227) + a(228) + a(229) + a(230) = s1/4
a(243) + a(244) + a(245) + a(246) = s1/4

a( 11) + a( 12) + a( 13) + a( 14) = s1/4
a( 27) + a( 28) + a( 29) + a( 30) = s1/4
a( 43) + a( 44) + a( 45) + a( 46) = s1/4
a( 59) + a( 60) + a( 61) + a( 62) = s1/4
a( 75) + a( 76) + a( 77) + a( 78) = s1/4
a( 91) + a( 92) + a( 93) + a( 94) = s1/4
a(107) + a(108) + a(109) + a(110) = s1/4
a(123) + a(124) + a(125) + a(126) = s1/4

a(139) + a(140) + a(141) + a(142) = s1/4
a(155) + a(156) + a(157) + a(158) = s1/4
a(171) + a(172) + a(173) + a(174) = s1/4
a(187) + a(188) + a(189) + a(190) = s1/4
a(203) + a(204) + a(205) + a(206) = s1/4
a(219) + a(220) + a(221) + a(222) = s1/4
a(235) + a(236) + a(237) + a(238) = s1/4
a(251) + a(252) + a(253) + a(254) = s1/4

a( 33) + a( 49) + a( 65) + a( 81) = s1/4
a( 34) + a( 50) + a( 66) + a( 82) = s1/4
a( 35) + a( 51) + a( 67) + a( 83) = s1/4
a( 36) + a( 52) + a( 68) + a( 84) = s1/4
a( 37) + a( 53) + a( 69) + a( 85) = s1/4
a( 38) + a( 54) + a( 70) + a( 86) = s1/4
a( 39) + a( 55) + a( 71) + a( 87) = s1/4
a( 40) + a( 56) + a( 72) + a( 88) = s1/4

a( 41) + a( 57) + a( 73) + a( 89) = s1/4
a( 42) + a( 58) + a( 74) + a( 90) = s1/4
a( 43) + a( 59) + a( 75) + a( 91) = s1/4
a( 44) + a( 60) + a( 76) + a( 92) = s1/4
a( 45) + a( 61) + a( 77) + a( 93) = s1/4
a( 46) + a( 62) + a( 78) + a( 94) = s1/4
a( 47) + a( 63) + a( 79) + a( 95) = s1/4
a( 48) + a( 64) + a( 80) + a( 96) = s1/4

a(161) + a(177) + a(193) + a(209) = s1/4
a(162) + a(178) + a(194) + a(210) = s1/4
a(163) + a(179) + a(195) + a(211) = s1/4
a(164) + a(180) + a(196) + a(212) = s1/4
a(165) + a(181) + a(197) + a(213) = s1/4
a(166) + a(182) + a(198) + a(214) = s1/4
a(167) + a(183) + a(199) + a(215) = s1/4
a(168) + a(184) + a(200) + a(216) = s1/4

a(169) + a(185) + a(201) + a(217) = s1/4
a(170) + a(186) + a(202) + a(218) = s1/4
a(171) + a(187) + a(203) + a(219) = s1/4
a(172) + a(188) + a(204) + a(220) = s1/4
a(173) + a(189) + a(205) + a(221) = s1/4
a(174) + a(190) + a(206) + a(222) = s1/4
a(175) + a(191) + a(207) + a(223) = s1/4
a(176) + a(192) + a(208) + a(224) = s1/4

The resulting number of equations can be written in the matrix representation as:

          →   →
     AF * a = s

which can be reduced, by means of row and column manipulations, and results in following set of linear equations: 

a(251) =  514 - a(252) - a(253) - a(254) 
a(249) =  514 - a(250) - a(255) - a(256) 
a(243) =  514 - a(244) - a(245) - a(246) 
a(242) =      - a(244) - a(246) - a(248) + a(250) + a(252) + a(254) + a(256) 
a(241) =  514 + a(244) + a(246) - a(247) - a(250) - a(252) - a(254) - a(256) 
a(239) =  514 - a(240) - a(255) - a(256) 
a(238) =        a(240) - a(254) + a(256) 
a(237) =  514 - a(240) - a(253) - a(256) 
a(236) =        a(240) - a(252) + a(256) 
a(235) =      - a(240) + a(252) + a(253) + a(254) - a(256) 
a(234) =        a(240) - a(250) + a(256) 
a(233) =      - a(240) + a(250) + a(255) 
a(232) =        a(240) - a(248) + a(256) 
a(231) =  514 - a(240) - a(247) - a(256) 
a(230) =        a(240) - a(246) + a(256) 
a(229) =  514 - a(240) - a(245) - a(256) 
a(228) =        a(240) - a(244) + a(256) 
a(227) =      - a(240) + a(244) + a(245) + a(246) - a(256) 
a(226) =        a(240) + a(244) + a(246) + a(248) - a(250) - a(252) - a(254) 
a(225) =      - a(240) - a(244) - a(246) + a(247) + a(250) + a(252) + a(254) 
a(223) =      - a(224) + a(255) + a(256) 
a(222) =        a(224) + a(254) - a(256) 
a(221) =      - a(224) + a(253) + a(256) 
a(220) =        a(224) + a(252) - a(256) 
a(219) =  514 - a(224) - a(252) - a(253) - a(254) + a(256) 
a(218) =        a(224) + a(250) - a(256) 
a(217) =  514 - a(224) - a(250) - a(255) 
a(216) =        a(224) + a(248) - a(256) 
a(215) =      - a(224) + a(247) + a(256) 
a(214) =        a(224) + a(246) - a(256) 
a(213) =      - a(224) + a(245) + a(256) 
a(212) =        a(224) + a(244) - a(256) 
a(211) =  514 - a(224) - a(244) - a(245) - a(246) + a(256) 
a(210) =        a(224) - a(244) - a(246) - a(248) + a(250) + a(252) + a(254) 
a(209) =  514 - a(224) + a(244) + a(246) - a(247) - a(250) - a(252) - a(254) 
a(207) =  514 - a(208) - a(255) - a(256) 
a(206) =        a(208) - a(254) + a(256) 
a(205) =  514 - a(208) - a(253) - a(256) 
a(204) =        a(208) - a(252) + a(256) 
a(203) =      - a(208) + a(252) + a(253) + a(254) - a(256) 
a(202) =        a(208) - a(250) + a(256) 
a(201) =      - a(208) + a(250) + a(255) 
a(200) =        a(208) - a(248) + a(256) 
a(199) =  514 - a(208) - a(247) - a(256) 
a(198) =        a(208) - a(246) + a(256) 
a(197) =  514 - a(208) - a(245) - a(256) 
a(196) =        a(208) - a(244) + a(256) 
a(195) =      - a(208) + a(244) + a(245) + a(246) - a(256) 
a(194) =        a(208) + a(244) + a(246) + a(248) - a(250) - a(252) - a(254) 
a(193) =      - a(208) - a(244) - a(246) + a(247) + a(250) + a(252) + a(254) 
a(191) =      - a(192) + a(255) + a(256) 
a(190) =        a(192) + a(254) - a(256) 
a(189) =      - a(192) + a(253) + a(256) 
a(188) =        a(192) + a(252) - a(256) 
a(187) =  514 - a(192) - a(252) - a(253) - a(254) + a(256) 
a(186) =        a(192) + a(250) - a(256) 
a(185) =  514 - a(192) - a(250) - a(255) 
a(184) =        a(192) + a(248) - a(256) 
a(183) =      - a(192) + a(247) + a(256) 
a(182) =        a(192) + a(246) - a(256) 
a(181) =      - a(192) + a(245) + a(256) 
a(180) =        a(192) + a(244) - a(256) 
a(179) =  514 - a(192) - a(244) - a(245) - a(246) + a(256) 
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a(177) =  514 - a(192) + a(244) + a(246) - a(247) - a(250) - a(252) - a(254) 
a(176) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) 
a(175) =        a(192) + a(208) + a(224) - a(255) - a(256) 
a(174) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) - a(254) + a(256) 
a(173) =        a(192) + a(208) + a(224) - a(253) - a(256) 
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a(171) = -514 + a(192) + a(208) + a(224) + a(252) + a(253) + a(254) - a(256) 
a(170) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) - a(250) + a(256) 
a(169) = -514 + a(192) + a(208) + a(224) + a(250) + a(255) 
a(168) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) - a(248) + a(256) 
a(167) =        a(192) + a(208) + a(224) - a(247) - a(256) 
a(166) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) - a(246) + a(256) 
a(165) =        a(192) + a(208) + a(224) - a(245) - a(256) 
a(164) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) - a(244) + a(256) 
a(163) = -514 + a(192) + a(208) + a(224) + a(244) + a(245) + a(246) - a(256) 
a(162) =  514 - a(192) - a(208) - a(224) + a(244) + a(246) + a(248) - a(250) - a(252) - a(254) 
a(161) = -514 + a(192) + a(208) + a(224) - a(244) - a(246) + a(247) + a(250) + a(252) + a(254) 
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a(139) = -514 + a(160) + a(240) + a(252) + a(253) + a(254) 
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a(137) = -514 + a(160) + a(240) + a(250) + a(255) + a(256) 
a(136) =  514 - a(160) - a(240) - a(248) 
a(135) =        a(160) + a(240) - a(247) 
a(134) =  514 - a(160) - a(240) - a(246) 
a(133) =        a(160) + a(240) - a(245) 
a(132) =  514 - a(160) - a(240) - a(244) 
a(131) = -514 + a(160) + a(240) + a(244) + a(245) + a(246) 
a(130) =  514 - a(160) - a(240) + a(244) + a(246) + a(248) - a(250) - a(252) - a(254) - a(256) 
a(129) = -514 + a(160) + a(240) - a(244) - a(246) + a(247) + a(250) + a(252) + a(254) + a(256) 
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a(123) =  514 - a(128) - a(252) - a(253) - a(254) + a(256) 
a(122) =        a(128) + a(250) - a(256) 
a(121) =  514 - a(128) - a(250) - a(255) 
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a(115) =  514 - a(128) - a(244) - a(245) - a(246) + a(256) 
a(114) =        a(128) - a(244) - a(246) - a(248) + a(250) + a(252) + a(254) 
a(113) =  514 - a(128) + a(244) + a(246) - a(247) - a(250) - a(252) - a(254) 
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a(102) =        a(112) - a(246) + a(256) 
a(101) =  514 - a(112) - a(245) - a(256) 
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a( 35) = -514 + a(64) + a(80) + a(96) + a(244) + a(245) + a(246) - a(256) 
a( 34) =  514 - a(64) - a(80) - a(96) + a(244) + a(246) + a(248) - a(250) - a(252) - a(254) 
a( 33) = -514 + a(64) + a(80) + a(96) - a(244) - a(246) + a(247) + a(250) + a(252) + a(254) 
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a( 27) =  514 + a(64) + a(96) + a(128) - a(160) - a(192) - a(224) - a(252) - a(253) - a(254) 
a( 26) =      - a(64) - a(96) - a(128) + a(160) + a(192) + a(224) + a(250) 
a( 25) =  514 + a(64) + a(96) + a(128) - a(160) - a(192) - a(224) - a(250) - a(255) - a(256) 
a( 24) =      - a(64) - a(96) - a(128) + a(160) + a(192) + a(224) + a(248) 
a( 23) =        a(64) + a(96) + a(128) - a(160) - a(192) - a(224) + a(247) 
a( 22) =      - a(64) - a(96) - a(128) + a(160) + a(192) + a(224) + a(246) 
a( 21) =        a(64) + a(96) + a(128) - a(160) - a(192) - a(224) + a(245) 
a( 20) =      - a(64) - a(96) - a(128) + a(160) + a(192) + a(224) + a(244) 
a( 19) =  514 + a(64) + a(96) + a(128) - a(160) - a(192) - a(224) - a(244) - a(245) - a(246) 
a( 18) =      - a(64) - a(96) - a(128) + a(160) + a(192) + a(224) - a(244) - a(246) - a(248)+a(250)+a(252)+a(254)+a(256) 
a( 17) =  514 + a(64) + a(96) + a(128) - a(160) - a(192) - a(224) + a(244) + a(246) - a(247)-a(250)-a(252)-a(254)-a(256) 
a( 16) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(256) 
a( 15) =      - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) - a(255) 
a( 14) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(254) 
a( 13) =      - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) - a(253) 
a( 12) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(252) 
a( 11) = -514 - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) + a(252) + a(253) + a(254) 
a( 10) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(250) 
a(  9) = -514 - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) + a(250) + a(255) + a(256) 
a(  8) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(248) 
a(  7) =      - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) - a(247) 
a(  6) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(246) 
a(  5) =      - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) - a(245) 
a(  4) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) - a(244) 
a(  3) = -514 - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) + a(244) + a(245) + a(246) 
a(  2) =  514 + a(64) + a(96) - a(112) - a(160) - a(192) - a(224) + a(244) + a(246) + a(248)-a(250)-a(252)-a(254)-a(256) 
a(  1) = -514 - a(64) - a(96) + a(112) + a(160) + a(192) + a(224) - a(244) - a(246) + a(247)+a(250)+a(252)+a(254)+a(256)

The solutions can be obtained by guessing:

   a( 64), a(80), a(96), a(112), a(128), a(160), a(192), a(208), a(224), a(240), a(244) .. a(248), a(250) and
   a(252) .. a(256)

and filling out these guesses in the abovementioned equations.

For distinct integers also following inequalities should be applied:

0 < a(i) =< 256      for i = 1, 2, ... 63, 65 ... 79, 81 ... 95, 97 ... 111, 113 ... 127, 129 ... 159
                         i = 161 ... 191, 193 ... 207, 209 ... 223, 225 ... 239, 241 ... 243, 249 and 251
a(i) ≠ a(j)          for i ≠ j

With a(256) ... a(252), a(250), a(248) ... a(244), a(240), a(224), a(208), a(192) and a(160) constant, an optimized guessing routine (MgcSqr16a), produced 768 Franklin Squares within 281 seconds (ref. Attachment 12.3).

12.3.3 Additional Properties

Although, as mentioned in section 12.3.1 above, the 8 x 8 sub squares are not Franklin squares, the previously deducted pattern properties (ref. section 8.4.3 and Attachment 8.4.3) apply due to property 3.

Further, comparable with the square shown in section 8.4.1, the "shortened bent rows" plus the "top corners" of the 8 x 8 sub squares sum to s1/2.

These patterns can be translated (with wrap-around) in vertical direction, both through the 8 x 8 sub squares as through the 16 x 16 square.

In addition to this, following symmetrical sub square patterns, based on bentrows or shortened bent rows and corner points, sum to s1:

200 217 232 249 8 25 40 57
58 39 26 7 250 231 218 199
198 219 230 251 6 27 38 59
60 37 28 5 252 229 220 197
201 216 233 248 9 24 41 56
55 42 23 10 247 234 215 202
203 214 235 246 11 22 43 54
53 44 21 12 245 236 213 204
200 217 232 249 8 25 40 57
58 39 26 7 250 231 218 199
198 219 230 251 6 27 38 59
60 37 28 5 252 229 220 197
201 216 233 248 9 24 41 56
55 42 23 10 247 234 215 202
203 214 235 246 11 22 43 54
53 44 21 12 245 236 213 204
200 217 232 249 8 25 40 57
58 39 26 7 250 231 218 199
198 219 230 251 6 27 38 59
60 37 28 5 252 229 220 197
201 216 233 248 9 24 41 56
55 42 23 10 247 234 215 202
203 214 235 246 11 22 43 54
53 44 21 12 245 236 213 204

These and comparable patterns can be translated (with wrap-around) in either direction, both through the 8 x 8 sub squares as through the 16 x 16 square.

12.3.4 Spreadsheet Solution

The linear equations, deducted above, can be applied in an Excel spreadsheet (Ref. CnstrSngl16a).

The red figures have to be “guessed” to construct a Franklin Square of the 16th order (wrong solutions are obvious).

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